${\displaystyle {}\lambda }$

${\displaystyle {}M}$

${\displaystyle {}0}$

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {}M{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\,.}$

Es sei

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x'_{1}\\\vdots \\x'_{n}\end{pmatrix}}=B{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\,,}$

was ebenfalls nicht ${\displaystyle {}0}$ ist. Dann ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}N{\begin{pmatrix}x'_{1}\\\vdots \\x'_{n}\end{pmatrix}}&=(BMB^{-1}){\begin{pmatrix}x'_{1}\\\vdots \\x'_{n}\end{pmatrix}}\\&=(BMB^{-1})B{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\\&=BM{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\\&=B\lambda {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\\&=\lambda B{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\\&=\lambda {\begin{pmatrix}x'_{1}\\\vdots \\x'_{n}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

d.h. ${\displaystyle {}\lambda }$ ist auch ein Eigenwert von ${\displaystyle {}N}$. Wegen

${\displaystyle {}M=B^{-1}NB\,}$

ist die Situation symmetrisch, daher sind Eigenwerte von ${\displaystyle {}N}$ auch Eigenwerte von ${\displaystyle {}M}$.