Das charakteristische Polynom zu

${\displaystyle {\begin{pmatrix}6&1&0\\0&2&4\\0&0&7\end{pmatrix}}}$

ist

${\displaystyle (X-6)(X-2)(X-7).}$

Es zerfällt also in Linearfaktoren mit verschiedenen Nullstellen und daher ist die Matrix diagonalisierbar. Die Eigenwerte sind ${\displaystyle {}2,6,7}$. Es ist

${\displaystyle {}2{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}6&1&0\\0&2&4\\0&0&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-4&-1&0\\0&0&-4\\0&0&-5\end{pmatrix}}\,,}$

ein Eigenvektor zum Eigenwert ${\displaystyle {}2}$ ist ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\-4\\0\end{pmatrix}}}$. Ferner ist

${\displaystyle {}6{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}6&1&0\\0&2&4\\0&0&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\0&4&-4\\0&0&-1\end{pmatrix}}\,,}$

ein Eigenvektor zum Eigenwert ${\displaystyle {}6}$ ist ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}}$. Schließlich ist

${\displaystyle {}7{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}6&1&0\\0&2&4\\0&0&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&5&-4\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,}$

ein Eigenvektor zum Eigenwert ${\displaystyle {}6}$ ist ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}4\\4\\5\end{pmatrix}}}$. Eine Basis aus Eigenvektoren ist also

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\-4\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4\\4\\5\end{pmatrix}}.}$