Wenn ${\displaystyle {}M}$ trigonalisierbar ist, so zerfällt das charakteristische Polynom zu ${\displaystyle {}M}$ in Linearfaktoren und hat somit insbesondere Nullstellen, welche wiederum Eigenwerte sind, wozu auch Eigenvektoren gehören. Wenn umgekehrt ${\displaystyle {}M}$ einen Eigenvektor besitzt, so auch einen Eigenwert und damit besitzt das charakteristische Polynom eine Nullstelle, sagen wir ${\displaystyle {}\lambda }$. Dies bedeutet, dass das charakteristische Polynom ${\displaystyle {}\chi _{M}}$ von ${\displaystyle {}X-\lambda }$ geteilt wird. Es ist also

${\displaystyle {}\chi _{M}=(X-\lambda )Q\,.}$

Da das charakteristische Polynom den Grad ${\displaystyle {}2}$ besitzt, muss der andere Faktor ${\displaystyle {}Q}$ ebenfalls ein Linearfaktor sein. Somit zerfällt das charakteristische Polynom in Linearfaktoren und ${\displaystyle {}M}$ ist trigonalisierbar.