Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe/Lösung

Sei ${}(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge mit der Eigenschaft, dass jede total geordnete Teilmenge ${}J\subseteq I$ eine obere Schranke in ${}I$ besitzt. Dann gibt es in ${}I$ maximale Elemente.
Es sei ein Symbolalphabet ${}S$ ${{}} S$ einer Sprache erster Stufe gegeben und es seien ${}x_{1},\ldots ,x_{k}$ ${}x_{1},\ldots ,x_{k}$ paarweise verschiedene Variablen und ${}t_{1},\ldots ,t_{k}$ ${}t_{1},\ldots ,t_{k}$ fixierte ${}S$ ${{}} S$ -Terme. Es sei eine ${}S$ ${{}} S$ -Interpretation ${}I$ ${{}} I$ gegeben. Dann gelten folgende Aussagen.
1. Für jeden ${}S$ -Term ${}s$ gilt
  ${}I\left(s{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)=\left(I{\frac {I(t_{1}),\ldots ,I(t_{k})}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)(s)\,.$
2. Für jeden ${}S$ -Ausdruck ${}\alpha$ gilt
  $I\vDash \alpha {\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}{\text{ genau dann, wenn }}{\left(I{\frac {I(t_{1}),\ldots ,I(t_{k})}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)}\vDash \alpha .$
Es sei ${}\Gamma$ eine Menge von modallogischen Ausdrücken und ${}\alpha$ ein modallogischer Ausdruck. Dann ist
$\Gamma \vdash \alpha$

genau dann, wenn

$\Gamma \vDash \alpha .$

This article is issued from Wikiversity. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.