Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe/Lösung

Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Es sei ein Symbolalphabet ${}S$ ${{}} S$ einer Sprache erster Stufe gegeben und es seien ${}x_{1},\ldots ,x_{k}$ ${}x_{1},\ldots ,x_{k}$ paarweise verschiedene Variablen und ${}t_{1},\ldots ,t_{k}$ ${}t_{1},\ldots ,t_{k}$ fixierte ${}S$ ${{}} S$ -Terme. Es sei eine ${}S$ ${{}} S$ -Interpretation ${}I$ ${{}} I$ gegeben. Dann gelten folgende Aussagen.
1. Für jeden ${}S$ -Term ${}s$ gilt
  ${}I\left(s{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)=\left(I{\frac {I(t_{1}),\ldots ,I(t_{k})}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)(s)\,.$
2. Für jeden ${}S$ -Ausdruck ${}\alpha$ gilt
  $I\vDash \alpha {\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}{\text{ genau dann, wenn }}{\left(I{\frac {I(t_{1}),\ldots ,I(t_{k})}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)}\vDash \alpha .$
Es sei ${}M$ eine Menge mit einem fixierten Element ${}s\in M$ und einer Abbildung ${}F\colon M\rightarrow M$ . Dann gibt es genau eine Abbildung
$\varphi \colon N\longrightarrow M,\,n\longmapsto \varphi (n),$

die die beiden Eigenschaften

$\varphi (0)=s{\text{ und }}\varphi (n^{\prime })=F(\varphi (n)){\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$
erfüllt.

This article is issued from Wikiversity. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.