Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die rekursive Definition für die Ausdrücke in einer Sprache erster Stufe.
2. Ein Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq R}$ in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
3. Die Variablensubstitution ${\displaystyle {}\alpha {\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}}$ für einen ${\displaystyle {}S}$-Ausdruck ${\displaystyle {}\alpha }$, wobei ${\displaystyle {}x_{1},\ldots ,x_{k}}$ Variablen und ${\displaystyle {}t_{1},\ldots ,t_{k}}$ fixierte ${\displaystyle {}S}$-Terme seien.
4. Die Ableitbarkeit eines Ausdrucks ${\displaystyle {}\alpha \in L^{S}}$ im prädikatenlogischen Kalkül.
5. Die Arithmetische Repräsentierbarkeit einer Abbildung

   ${\displaystyle F\colon \mathbb {N} ^{r}\longrightarrow \mathbb {N} ^{s}.}$

6. Eine (formale) Modallogik.