Es sind

${\displaystyle {}n^{2}=n\cdot n=1\cdot 1+(n-1)(n+1)\,}$

zwei Darstellungen des Betrages ${\displaystyle {}n^{2}}$, die beide ${\displaystyle {}n}$ Münzen verwenden (und verschieden sind). Es ist zu zeigen, dass diese minimal sind, dass es also keine Darstellung von ${\displaystyle {}n^{2}}$ mit weniger als ${\displaystyle {}n}$ Münzen gibt. Dies ist aber klar, da der höchste Münzwert gleich ${\displaystyle {}n+1}$ ist und der höchste mit ${\displaystyle {}n-1}$ Münzen zu erzielende Betrag gleich

${\displaystyle {}(n-1)(n+1)=n^{2}-1<n^{2}\,}$