Bei ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}=R}$ ist der Restklassenring der Nullring und die Aussage ist klar, sei also ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}}$. Sei ${\displaystyle {}r\in R}$ ein Repräsentant einer Einheit aus ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {a}}}$, und sei ${\displaystyle {}s\in R}$ derart, dass

${\displaystyle {}rs=1\,}$

in ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {a}}}$ ist. Dies bedeutet

${\displaystyle {}rs-1\in {\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}\,}$

in ${\displaystyle {}R}$. Wenn ${\displaystyle {}r}$ keine Einheit wäre, so wäre ${\displaystyle {}rs\in {\mathfrak {m}}}$ und dann ergäbe sich der Widerspruch

${\displaystyle {}1=(1-rs)+rs\in {\mathfrak {m}}\,.}$

${\displaystyle {}r}$