Wir schreiben das Gleichungssystem als

${\displaystyle (I)\,\,\,(2+{\sqrt {3}})x-{\sqrt {3}}y=1-{\sqrt {3}}}$

${\displaystyle (II)\,\,\,{\frac {1}{2}}x-(2+3{\sqrt {3}})y=4-2{\sqrt {3}}.}$

Wir multiplizieren die zweite Zeile mit ${\displaystyle {}4+2{\sqrt {3}}}$ und erhalten

${\displaystyle (III)\,\,\,(2+{\sqrt {3}})x+(-26-16{\sqrt {3}})y=4.}$

Wir nehmen die Differenz der ersten und der dritten Zeile und erhalten

${\displaystyle (IV)\,\,\,(26+15{\sqrt {3}})y=-3-{\sqrt {3}}.}$

Das inverse Element von ${\displaystyle {}(26+15{\sqrt {3}})}$ ist ${\displaystyle {}(26-15{\sqrt {3}})}$, somit ist also

${\displaystyle {}y=(26-15{\sqrt {3}})(-3-{\sqrt {3}})=-33+19{\sqrt {3}}\,.}$

Aus der Gleichung ${\displaystyle {}(II)}$ folgt daraus

${\displaystyle {}{\begin{aligned}x&=2(4-2{\sqrt {3}}+(2+3{\sqrt {3}})y)\\&=8-4{\sqrt {3}}+2(2+3{\sqrt {3}})(-33+19{\sqrt {3}})\\&=8-4{\sqrt {3}}+210-122{\sqrt {3}}\\&=218-126{\sqrt {3}}.\end{aligned}}}$