Bestimme die Fixpunkte der Operationen auf ${\displaystyle {}\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {C} [X,Y]\right)}}$, die durch folgende Untergruppen ${\displaystyle {}G}$ der ${\displaystyle {}\operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {C} \right)}}$ gegeben sind.

1. ${\displaystyle {}G=\operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {C} \right)}}$,
2. ${\displaystyle {}G=\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {C} \right)}}$,
3. ${\displaystyle {}G=\mathbb {C} ^{\times }=\mathbb {C} ^{\times }\cdot {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$.
4. ${\displaystyle {}G}$ die Gruppe der invertierbaren Diagonalmatrizen.
5. ${\displaystyle {}G}$ die Gruppe der reellen Drehmatrizen.