Man gebe ein Beispiel einer bijektiven linearen Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}}$

mit der Eigenschaft, dass es einerseits eine Orthogonalbasis des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$

gibt, die unter ${\displaystyle {}\varphi }$ in eine Orthogonalbasis überführt wird, es andererseits aber auch eine Orthogonalbasis gibt, die unter ${\displaystyle {}\varphi }$ nicht in eine Orthogonalbasis überführt wird.