Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben ${\displaystyle {}0\in V}$ keinen weiteren Vektor ${\displaystyle {}v\in V}$ mit ${\displaystyle {}\varphi (v)=0}$ geben. Also ist ${\displaystyle {}\varphi ^{-1}(0)=\{0\}}$.
Sei umgekehrt ${\displaystyle {}\operatorname {kern} \varphi =0}$ und seien ${\displaystyle {}v_{1},v_{2}\in V}$ gegeben mit ${\displaystyle {}\varphi (v_{1})=\varphi (v_{2})}$. Dann ist wegen der Linearität

${\displaystyle {}\varphi (v_{1}-v_{2})=\varphi (v_{1})-\varphi (v_{2})=0\,.}$

Daher ist ${\displaystyle {}v_{1}-v_{2}\in \operatorname {kern} \varphi }$ und damit ${\displaystyle {}v_{1}=v_{2}}$.