Seien ${\displaystyle {}v_{1},v_{2},v_{3}}$ linear unabhängig und sei

${\displaystyle {}b_{1}v_{1}+b_{2}(v_{1}+v_{2})+b_{3}(v_{1}+v_{2}+v_{3})=0\,}$

eine Darstellung der ${\displaystyle {}0}$. Dies bedeutet

${\displaystyle {}(b_{1}+b_{2}+b_{3})v_{1}+(b_{2}+b_{3})v_{2}+b_{3}v_{3}=0\,,}$

woraus wegen der linearen Unabhängigkeit

${\displaystyle {}b_{3},b_{2}+b_{3},b_{1}+b_{2}+b_{3}=0\,,}$

also

${\displaystyle {}b_{1},b_{2},b_{3}=0\,}$

folgt.

Seien nun umgekehrt ${\displaystyle {}v_{1},v_{1}+v_{2},v_{1}+v_{2}+v_{3}}$ linear unabhängig und sei

${\displaystyle {}a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}=0\,}$

eine Darstellung der ${\displaystyle {}0}$. Dann ist

${\displaystyle {}0=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}=(a_{1}-a_{2})v_{1}+(a_{2}-a_{3})(v_{1}+v_{2})+a_{3}(v_{1}+v_{2}+v_{3})\,.}$

Daraus ergibt sich

${\displaystyle {}a_{3},a_{2}-a_{3},a_{1}-a_{2}=0\,}$

und daraus

${\displaystyle {}a_{1},a_{2},a_{3}=0\,.}$