Lemma

Sei ${\displaystyle f\in C({\mathbb {R} }^{n})}$ eine stetige Funktion. Für alle ${\displaystyle x\in {\mathbb {R} }^{n}}$ gilt:

$${\displaystyle {\frac {1}{|B_{\epsilon }(x)|}}\int _{B_{\epsilon }(x)}f(y)dy\to f(x)\ \ {\mbox{für}}\ \epsilon \to 0.}$$

Hierbei ist ${\displaystyle B_{\epsilon }(x)}$ die offene Kugel im ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ mit Radius ${\displaystyle \epsilon }$ um x und ${\displaystyle |B_{\epsilon }(x)|}$ das zugehörige Volumen dieser Kugel.
Beweisidee: ${\displaystyle {\frac {1}{|B_{\epsilon }(x)|}}\int _{B_{\epsilon }(x)}1\ dy=1}$. Ziehen Sie f(x).1 von der linken Seite ab verwenden Sie die Abschätzung ${\displaystyle {\Big |}\int ...\ dy{\Big |}\leq \int |...|\ dy}$ und die Stetigkeit von f.