Es sei

${\displaystyle {}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}\,.}$

Wir schreiben die ${\displaystyle {}i}$-te Zeile der Matrix als ${\displaystyle {}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}e_{j}}$. Damit ist unter Verwendung der Multilinearität in den Zeilen

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\det M&=\det {\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{n}a_{1j}e_{j}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}a_{nj}e_{j}\end{pmatrix}}\\&=\sum _{(j_{1},\ldots ,j_{n})\in \{1,\ldots ,n\}^{n}}a_{1j_{1}}\cdots a_{nj_{n}}\det {\begin{pmatrix}e_{j_{1}}\\\vdots \\e_{j_{n}}\end{pmatrix}}\\&=\sum _{\pi \in S_{n}}a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)}\det {\begin{pmatrix}e_{\pi (1)}\\\vdots \\e_{\pi (n)}\end{pmatrix}}\\&=\sum _{\pi \in S_{n}}a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)}\operatorname {sgn} (\pi ).\end{aligned}}}$

Hierbei beruht die vorletzte Gleichung darauf, dass die Determinante von ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}e_{j_{1}}\\\vdots \\e_{j_{n}}\end{pmatrix}}}$ gleich ${\displaystyle {}0}$ ist, sobald ein Vektor ${\displaystyle {}e_{j}}$ mehrfach vorkommt, und man daher nur über die Permutationen aufsummieren muss. Die letzte Gleichung beruht darauf, dass man durch eine Anzahl an Zeilenvertauschungen aus ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}e_{j_{1}}\\\vdots \\e_{j_{n}}\end{pmatrix}}}$ die Einheitsmatrix mit Determinante ${\displaystyle {}1}$ erhält. Bei jeder Zeilenvertauschung ändert sich die Determinante um ${\displaystyle {}-1}$ und dies entspricht der Änderung des Signums bei einer Transposition.