a) Es sei ${\displaystyle {}M=E_{n}={\left(a_{ij}\right)}}$ die Einheitsmatrix. Für jede Permutation

${\displaystyle {}\pi \neq \operatorname {Id} \,}$

gibt es ein ${\displaystyle {}i}$ mit ${\displaystyle {}\pi (i)\neq i}$, daher ist

${\displaystyle {}a_{i\pi (i)}=0\,.}$

Diese Summanden fallen also weg und übrig bleibt

${\displaystyle {}\delta (E_{n})=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)}=\operatorname {sgn} (\operatorname {Id} )\prod _{i=1}^{n}a_{ii}=1\,.}$

b) Für jede Permutation ${\displaystyle {}\pi }$ ist die Zuordnung

${\displaystyle \operatorname {Mat} _{n}(K)\longrightarrow K,\,M\longmapsto a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)},}$

multilinear, wie unmittelbar aus dem Distributivgesetz für ${\displaystyle {}K}$ folgt. Da jede Linearkombination von Multilinearformen wieder eine Multilinearform ist, ist ${\displaystyle {}\delta }$ multilinear.

c) Es seien die ${\displaystyle {}r}$-te und die ${\displaystyle {}s}$-te Zeile der Matrix ${\displaystyle {}M}$ identisch (${\displaystyle {}r\neq s}$), also

${\displaystyle {}a_{rj}=a_{sj}\,}$

für alle ${\displaystyle {}j}$. Es sei ${\displaystyle {}\tau }$ die Transposition, die ${\displaystyle {}r}$ und ${\displaystyle {}s}$ vertauscht. Man kann jede Permutation ${\displaystyle {}\pi }$ eindeutig als ${\displaystyle {}\rho }$ bzw. als ${\displaystyle {}\rho \tau }$ schreiben, wobei ${\displaystyle {}\rho }$ sämtliche geraden Permutationen durchläuft. Daher ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\delta (M)&=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)}\\&=\sum _{\rho {\text{ gerade }}}{\left(\operatorname {sgn} (\rho )\prod _{i=1}^{n}a_{i\rho (i)}+\operatorname {sgn} (\rho \tau )\prod _{i=1}^{n}a_{i\rho \tau (i)}\right)}\\&=\sum _{\rho {\text{ gerade }}}{\left(\prod _{i=1}^{n}a_{i\rho (i)}-\prod _{i=1}^{n}a_{i\rho \tau (i)}\right)}\\&=\sum _{\rho {\text{ gerade }}}{\left(a_{r\rho (r)}a_{s\rho (s))}\prod _{i\neq r,s,\,i=1}^{n}a_{i\rho (i)}-a_{r\rho \tau (r)}a_{s\rho \tau (s))}\prod _{i\neq r,s,\,i=1}^{n}a_{i\rho \tau (i)}\right)}\\&=\sum _{\rho {\text{ gerade }}}{\left(a_{r\rho (r)}a_{s\rho (s))}\prod _{i\neq r,s,\,i=1}^{n}a_{i\rho (i)}-a_{r\rho (s)}a_{s\rho (r))}\prod _{i\neq r,s,\,i=1}^{n}a_{i\rho (i)}\right)}\\&=\sum _{\rho {\text{ gerade }}}{\left(a_{r\rho (r)}a_{s\rho (s))}\prod _{i\neq r,s,\,i=1}^{n}a_{i\rho (i)}-a_{r\rho (r)}a_{s\rho (s))}\prod _{i\neq r,s,\,i=1}^{n}a_{i\rho (i)}\right)}\\&=0.\end{aligned}}}$

d) Nach a), b), c) liegt in ${\displaystyle {}\delta }$ eine alternierende Multilinearform vor, die auf der Einheitsmatrix den Wert ${\displaystyle {}1}$ besitzt. Aufgrund der universellen Eigenschaft der Determinante

${\displaystyle {}\delta }$