Die Exaktheit von

${\displaystyle M/fM\longrightarrow N/fN\longrightarrow P/fP\longrightarrow 0}$

ergibt sich wegen

${\displaystyle {}M/fM=M\otimes _{R}R/(f)\,}$

(nach Fakt  (2)) aus der Rechtsexaktheit des Tensorproduktes (Fakt  (2)). Es ist also noch die Injektivität von ${\displaystyle {}M/fM\rightarrow N/fN}$ zu zeigen. Sei hierzu ${\displaystyle {}[m]\in M/fM}$ vorgegeben mit der Eigenschaft, dass das Bild davon in ${\displaystyle {}N/fN}$ gleich ${\displaystyle {}0}$ ist. Das bedeutet

${\displaystyle {}m=nf\,}$

in ${\displaystyle {}N}$ mit einem ${\displaystyle {}n\in N}$. Wegen

${\displaystyle {}f\psi (n)=\psi (nf)=\psi (m)=0\,}$

in ${\displaystyle {}P}$ und der Nichtnullteilereigenschaft ist

${\displaystyle {}\psi (n)=0\,.}$

Das bedeutet ${\displaystyle {}n\in M}$ und somit

${\displaystyle {}[m]=0\,}$

in ${\displaystyle {}M/fM}$.