Da die Exponentialfunktion keine Nullstelle besitzt, liegt nur bei ${\displaystyle {}2x+3=0}$, also bei ${\displaystyle {}x_{0}=-{\frac {3}{2}}}$ eine Nullstelle vor. Unterhalb davon ist die Funktion negativ, oberhalb davon positiv.

Zur Bestimmung der lokalen Extrema leiten wir ab, was zu

${\displaystyle {}f'(x)=2e^{-x^{2}}+(2x+3)(-2x)e^{-x^{2}}=e^{-x^{2}}{\left(-4x^{2}-6x+2\right)}\,}$

führt. Die Nullstellenbestimmung der Ableitung führt auf

${\displaystyle x^{2}+{\frac {3}{2}}x-{\frac {1}{2}}=0.}$

Quadratisches Ergänzen führt zu

${\displaystyle {\left(x+{\frac {3}{4}}\right)}^{2}-{\frac {9}{16}}-{\frac {1}{2}}=0}$

bzw.

${\displaystyle {\left(x+{\frac {3}{4}}\right)}^{2}={\frac {17}{16}}.}$

Also ist

${\displaystyle x+{\frac {3}{4}}=\pm {\frac {\sqrt {17}}{4}}}$

und somit

${\displaystyle x_{1}=-{\frac {\sqrt {17}}{4}}-{\frac {3}{4}}{\text{ und }}x_{2}=+{\frac {\sqrt {17}}{4}}-{\frac {3}{4}}.}$

Für ${\displaystyle {}x<x_{1}}$ ist die Ableitung negativ, für ${\displaystyle {}x}$ mit ${\displaystyle {}x_{1}<x<x_{2}}$ ist sie positiv und für ${\displaystyle {}x>x_{2}}$ wieder negativ. Daher ist die Funktion ${\displaystyle {}f}$ unterhalb von ${\displaystyle {}x_{1}}$ streng fallend, zwischen ${\displaystyle {}x_{1}}$ und ${\displaystyle {}x_{2}}$ streng wachsend und oberhalb von ${\displaystyle {}x_{2}}$ wieder streng fallend. Daher liegt in ${\displaystyle {}x_{1}}$ ein isoliertes lokales Minimum und in ${\displaystyle {}x_{2}}$ ein isoliertes lokales Maximum vor. Da es sonst keine lokalen Extrema gibt, und die Funktion für ${\displaystyle {}x\rightarrow -\infty }$ wächst, aber negativ bleibt, und für ${\displaystyle {}x\rightarrow +\infty }$ fällt, aber positiv bleibt, sind dies auch globale Extrema.