Zeige unter Verwendung des Satzes von Dirichlet, dass eine Primzahl ${\displaystyle {}q}$ modulo unendlich vieler Primzahlen ${\displaystyle {}p}$ ein quadratischer Rest ist, aber auch modulo unendlich vieler Primzahlen ein nichtquadratischer Rest.

Sei ${\displaystyle {}{\varphi (n)}}$ die Eulersche Funktion. Zeige, dass die Folge ${\displaystyle {}{\frac {\varphi (n)}{n}}}$, ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$, sowohl in ${\displaystyle {}1}$ als auch in ${\displaystyle {}0}$ einen Häufungspunkt besitzt.

Beweise Korollar 12.5, also die Aussage, dass

${\displaystyle {}\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x}}=0\,}$

ist, mit Hilfe von Korollar 11.6 über die Riemannsche ${\displaystyle {}\zeta }$-Funktion.

Bestimme anhand des Beweises der Ungleichungen von Tschebyschow einen expliziten Wert für ${\displaystyle {}c}$ mit ${\displaystyle {}\pi (x)\geq c{\frac {x}{\ln(x)}}}$.

Zeige unter Verwendung der Ungleichungen von Tschebyschow, dass es (zumindest für ${\displaystyle {}x}$ hinreichend groß) mehr Primzahlen zwischen ${\displaystyle {}x}$ und ${\displaystyle {}x^{2}}$ als zwischen ${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}x}$ gibt.

Was besagt die Artinsche Vermutung über primitive Reste?

Betrachte die Quadratrestgruppe

${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times 2},}$

wobei ${\displaystyle {}\mathbb {Q} ^{\times 2}}$ die Untergruppe der Quadrate bezeichne. Zeige, dass es zu jeder Restklasse ${\displaystyle {}x\in \mathbb {Q} ^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times 2}}$ einen Repräsentanten aus ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ gibt.

Finde die kleinste Primzahl ${\displaystyle {}p}$ derart, dass es in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ ein Element ${\displaystyle {}a}$ gibt, das weder primitiv noch ein Quadrat noch gleich ${\displaystyle {}-1}$ ist.

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

${\displaystyle \left({\frac {1489}{2437}}\right).}$