Kurs:Vorkurs Mathematik (Bielefeld 2009)/Brüche

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Aufgabe

Fassen Sie zu einem Bruch zusammen und kürzen Sie gegebenenfalls:

${}{\frac {3}{5}}\cdot {\frac {15}{7}}$
${}{\frac {3}{5}}:{\frac {15}{7}}$
${}{\frac {2}{3}}:18$
${}18:{\frac {2}{3}}$

Lösung:

${}1{\frac {2}{7}}$
${}{\frac {7}{25}}$
${}{\frac {1}{27}}$
${}27$

Aufgabe

Kürzen Sie so weit wie möglich:

${}{\frac {144}{156}}$
${}{\frac {4+3}{8+9}}$
${}{\frac {3a^{2}+b}{3a^{2}}}$
${}{\frac {25a-50a^{2}b}{10ac^{2}+45a^{3}}}$

Lösung:

${}{\frac {12}{13}}$
${}{\frac {7}{17}}$
${}{\frac {3a^{2}+b}{3a^{2}}}$
${}{\frac {5-10ab}{2c^{2}+9a^{2}}}$

Aufgabe

Bringen Sie auf einen Bruchstrich (geschickter Nenner?):

${}{\frac {1}{5}}+{\frac {9}{10}}$
${}{\frac {7}{6}}-{\frac {3}{4}}$
${}2{\frac {3}{4}}-{\frac {7}{7}}$
${}{\frac {2}{3}}+{\frac {7}{12}}-1{\frac {3}{8}}$
${}{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}$
${}{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{b^{2}}}$
${}{\frac {a}{4bc}}+{\frac {d}{6c^{2}}}$
${}{\frac {a}{b+c}}+{\frac {d}{b-c}}$
${}{\frac {a}{1+x}}+{\frac {b}{1-x}}+{\frac {c}{(1+x)^{2}}}$
${}{\frac {a-b}{c+d}}+{\frac {c-d}{a+b}}$

Lösung:

${}{\frac {11}{10}}=1{\frac {1}{10}}$
${}{\frac {5}{12}}$
${}1{\frac {3}{4}}$
${}-{\frac {1}{8}}$
${}{\frac {ad+cb}{bd}}$
${}{\frac {ab+c}{b^{2}}}$
${}{\frac {3ac+2bd}{12bc^{2}}}$
${}{\frac {a(b-c)+d(b+c)}{b^{2}-c^{2}}}$
${}{\frac {a(1-x)(1+x)+b(1+x)^{2}+c(1-x)}{(1-x^{2})(1+x)}}$
${}{\frac {a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}}{ac+bc+ad+bd}}$

Aufgabe

Fassen Sie zu einem einfachen Bruch zusammen und kürzen Sie gegebenenfalls:

${}{\frac {\frac {12}{23}}{\frac {34}{45}}}$
${}{\frac {3}{\frac {1}{1000}}}$
${}{\frac {\frac {a-b}{c+d}}{\frac {a+b}{c-d}}}$
${}{\frac {\frac {a^{2}-b^{2}}{c+d}}{\frac {a+b}{c^{2}-d^{2}}}}$
${}{\frac {3}{{\frac {4}{6}}+{\frac {1}{2}}}}$

Lösung:

${}{\frac {270}{391}}$
${}3000$
${}{\frac {ac-ad-bc+bd}{ac+bc+ad+bd}}$
${}(a-b)(c-d)=ac-ad-bc+bd$
${}2{\frac {4}{7}}$

Aufgabe

Ist ${}3/5$ größer oder gleich oder kleiner als ${}5/8$ ? Wie kann man diese Frage schnell entscheiden, ohne die Brüche dezimal auszurechnen?

Lösung:

Zum Beispiel so: Angenommen,

{}3/5{\stackrel {?}{>}}7/11

. Dann multiplizieren wir beide Seiten mit beiden Nennern:

{}5\cdot 11\cdot 3/5{\stackrel {?}{>}}5\cdot 11\cdot 7/11

. Es kürzen sich die

{}5

links und die

{}11

rechts. Also müsste auch

{}11\cdot 3{\stackrel {?}{>}}5\cdot 7

gelten, also

{}33{\stackrel {?}{>}}35

. Das ist aber falsch. Die Gleichheit ist mit einer analogen Begründung ausgeschlossen. Der linke Bruch ist also kleiner als der rechte.

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