Gradient

Definition: Gradient

Einem stetig differenzierbaren Feld ${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )}$ wird in jedem Raumpunkt ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ein vektorielles Feld, das sogenannte Gradientenfeld zugeordnet:

${\displaystyle \mathop {\rm {grad}} \phi :=({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},{\frac {\partial }{\partial x_{3}}})}$

Definition: Nabla-Operator

Der Vektor-Differentialoperator

${\displaystyle \nabla :=({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},{\frac {\partial }{\partial x_{3}}})}$

heißt Nabla-Operator. Man schreibt das Gradientenfeld auch ${\displaystyle \mathop {\rm {grad}} \phi =\nabla \phi }$.

Regeln für die Gradientenbildung:

${\displaystyle \mathop {\rm {grad}} (\phi _{1}+\phi _{2})=\mathop {\rm {grad}} \phi _{1}+\mathop {\rm {grad}} \phi _{2}}$

${\displaystyle \mathop {\rm {grad}} (\phi _{1}\ \phi _{2})=\phi _{2}\mathop {\rm {grad}} \phi _{1}+\phi _{1}\mathop {\rm {grad}} \phi _{2}}$

Divergenz

Rotator