Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert

Lineariät

Sei $(\Omega ,{\mathcal {S}},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und die Zufallsgrößen $X_{1}:\Omega \longrightarrow \mathbb {R}$ und $X_{2}:\Omega \longrightarrow \mathbb {R}$ gegeben, dann ist der Erwartungswert linear:

(Homogenität) $E(c\cdot X_{1})=c\cdot E(X_{1})$ für alle $c\in \mathbb {R}$
(Additivität) $E(X_{1}+X_{2})=E(X_{1})+E(X_{2})$

Beweis

Die Homogenität und Additivität erhält man wie folgt $X:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$ .

Einsetzen der Definition des Erwartungswertes
Verwendung des Erwartungswertes mit der Summierung über $\omega \in \Omega$ .

E(X):=\sum _{\omega \in \Omega }P(\{\omega \})\cdot X(\omega )

Die Mengenklammern in $P(\{\omega \})$ sind erforderlich, weil $P$ als Definitionsbereich ${\mathcal {S}}$ und nicht $\Omega$ besitzt.

Beweis Teil 1: Homogenität

Sei $c\in \mathbb {R}$ beliebig gewählt und $X:\Omega \longrightarrow \mathbb {R}$ ein Zufallsgröße:

E(c\cdot X){\stackrel {Def}{=}}\sum _{\omega \in \Omega }P(\{\omega \})\cdot c\cdot X(\omega ){\stackrel {DG}{=}}c\cdot \sum _{\omega \in \Omega }P(\{\omega \})\cdot X(\omega ){\stackrel {Def}{=}}c\cdot E(X)

Beweis Teil 2: Additivität

Seien $X_{1}:\Omega \longrightarrow \mathbb {R}$ und $X_{2}:\Omega \longrightarrow \mathbb {R}$ zwei Zufallsgrößen:

E(X_{1}+X_{2}){\stackrel {Def}{=}}\sum _{\omega \in \Omega }P(\{\omega \})\cdot (X_{1}+X_{2})(\omega )=\sum _{\omega \in \Omega }P(\{\omega \})\cdot (X_{1}(\omega )+X_{2}(\omega ))

\ {\stackrel {AG/KG}{=}}\sum _{\omega \in \Omega }P(\{\omega \})\cdot X_{1}(\omega )+P(\{\omega \})\cdot X_{2}(\omega ))

\ {\stackrel {DG}{=}}\sum _{\omega \in \Omega }P(\{\omega \})\cdot X_{1}(\omega )+\sum _{\omega \in \Omega }P(\{\omega \})\cdot X_{2}(\omega ){\stackrel {Def}{=}}E(X_{1})+E(X_{2})

Aufgabe

Beweisen Sie die Linearität des Ewartungswertes für stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte $p:\Omega \to \mathbb {R} _{o}^{+}$ !

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