Beweis

Auf dem Produktraum ${\displaystyle (\Omega ,P),\Omega =\Omega _{1}^{n},P=P_{1}\times ...\times P_{1},}$ (${\displaystyle P}$ besteht aus n Faktoren), definieren wie die Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1},...X_{n}}$gemäß

${\displaystyle X_{i}((w_{1},...,w_{n}))=\left\{{\begin{array}{ll}1,&w_{i}\in A\\0,&sonst\end{array}}\right.}$

("Ereignis tritt bei i-ter Wiederholung ein/nicht ein").

${\displaystyle X_{i}}$ hat die sogenannte Binomialverteilung: ${\displaystyle P(X_{i}=1)=p,P(X_{i}=0)=1-p}$.

Die Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ sind unabhängig. Setze

${\displaystyle X=X_{1}+...+X_{n},}$

("Häufigkeit des Auftretens von A")

dann ist ${\displaystyle P(X=k)=b(k;n,p)}$.

Bemerkung

Zur Berechnung von ${\displaystyle b(k;n,p)}$:
Für jede der ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$ Zerlegungen ${\displaystyle \lbrace 1,...,n\rbrace =\lbrace i_{1},...,i_{k}\rbrace \cup \lbrace j_{1},...,j_{n-k}\rbrace }$ (disjunkt) gilt:

${\displaystyle P(X_{i_{1}}=1,...,X_{i_{k}}=1,X_{j_{1}}=0,...,X_{j_{n-k}}=0)}$

${\displaystyle =P(X_{i_{1}}=1)\cdot ...\cdot P(X_{j_{n-k}}=0)=p^{k}(1-p)^{n-k}}$

Also: ${\displaystyle P(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$

Beweis

Zerlegung von ${\displaystyle \lbrace X=x\rbrace }$ in paarweise disjunkte Mengen ${\displaystyle A_{(X_{1},...,X_{n})}=\langle X_{1}=x_{1},...,X_{n}=x_{n}\rangle ,X_{1}+...+X_{n}=X}$. Im Fall ${\displaystyle n=2}$ lautet die Behauptung für ${\displaystyle x\in (X_{1}+X_{2})(\Omega )}$

${\displaystyle P_{X_{1}+X_{2}}(\lbrace x\rbrace )=\sum _{x_{1}\in X_{1}(\Omega )}P_{X_{1}}(\lbrace x_{1}\rbrace )\cdot P_{X_{2}}(\lbrace x-x_{1}\rbrace )}$

Beispiel

${\displaystyle B(n,p)}$-Verteilung ist eine Faltung von ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle B(1,p)}$-Verteilungen:

${\displaystyle B(n,p)=B(1,p)\ast ...\ast B(1,p)}$