Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Teilen in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
2. Die Ordnung eines Elements ${\displaystyle {}g\in G}$ in einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
3. Ein Algebraautomorphismus auf einer ${\displaystyle {}K}$-Algebra ${\displaystyle {}A}$.
4. Der ${\displaystyle {}n}$-te Kreisteilungskörper (über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$).
5. Ein auflösbares Polynom ${\displaystyle {}F\in K[X]}$ über einem Körper ${\displaystyle {}K}$.
6. Der rationale Funktionenkörper in ${\displaystyle {}n}$ Variablen.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Homomorphiesatz für Gruppen (Satz vom induzierten Homomorphismus).
2. Das Eisensteinsche Irreduzibilitätskriterium (über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ bzw. ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$).
3. Die Transzendenzgradformel.

Beweise den Satz, dass der Kern eines Gruppenhomomorphismus ein Normalteiler ist.

Beweise den Satz über die Galoisgruppe zu endlichen Körpern.

Beweise den Satz über die Charakterisierung von konstruierbaren n-Ecken.