Reelles Integral als Wegintegral

Ein reelles Integral wird wie folgt als Wegintegral auf der reellen Achse aufgefasst. Wir stellen das Wegintegral auf der reellen Achse als Konvexkombination der Punkte ${\displaystyle a=a+0i\in \mathbb {C} }$ und ${\displaystyle b=b+0i\in \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle a<b}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\gamma _{(a,b)}:[a,b]&\to &\mathbb {C} \\t&\mapsto &\gamma _{(a,b)}(t)=(1-t)\cdot a+t\cdot b\\\end{array}}}$

und

${\displaystyle \displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx{\mbox{ mit }}a,b\in \mathbb {R} }$

Uneigentliche Integrale als Wegintegral

Bei uneigentlichen Integralen verwendet man einen Grenzwertprozess für die Integralgrenzen, z.B.:

${\displaystyle \displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=\displaystyle \lim _{R\to +\infty }\int _{+R}^{-R}f(x)dx}$

oder

${\displaystyle \displaystyle \int _{0}^{b}f(x)dx=\displaystyle \lim _{a\to 0,a>0}\int _{a}^{b}f(x)dx}$

Ergänzung zu einem Zyklus

Sei ${\displaystyle \gamma _{0}:[a,b]\to \mathbb {R} }$ der reellwertige Integrationsweg, für den das reelle Integral berechnet werden soll und ${\displaystyle G}$ ein Gebiet mit ${\displaystyle \mathrm {Spur} (\gamma _{0})\subset G}$. Wir ergänzen ${\displaystyle \gamma _{0}}$ zu einem nullhomologen Zyklus ${\displaystyle \Gamma }$ in ${\displaystyle G}$:

${\displaystyle \Gamma$ :=\gamma _{0}+\sum _{k=1}^{n}n_{k}\cdot \gamma _{k}{\mbox{ mit }}n\in \mathbb {N} {\mbox{ und }}n_{k}\in \mathbb {Z} {\mbox{ für alle }}k\in \{1,...,n\}}

Beispiel 1 - Ergänzung zu einem Zyklus

Sei ${\displaystyle R\in \mathbb {R} ^{+}}$ und${\displaystyle \gamma _{0}:=\gamma _{(a,b)}}$ der Integrationsweg von ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ nach ${\displaystyle b\in \mathbb {R} }$ auf der reellen Achse als Konvexkombination. Die folgende Ergänzung erzeugt eine Rechteckweg in der komplexen Zahlenebene:

${\displaystyle \Gamma$ :=\gamma _{(a,b)}+\gamma _{(b,b+iR)}+\gamma _{(b+iR,a+iR)}++\gamma _{(a+iR,a)}}

Beispiel 2 - Ergänzung zu einem Zyklus

Sei ${\displaystyle R\in \mathbb {R} ^{+}}$ und${\displaystyle \gamma _{0}:=\gamma _{(+R,-R)}}$ auf der reellen Achse als Konvexkombination. Die folgende Ergänzung ergänzt einen Integrations mit der Spur eines Halbkreises mit Radius ${\displaystyle R}$ in der komplexen Zahlenebene:

${\displaystyle \Gamma$ :=\gamma _{(-R,+R)}+\gamma _{R}}

mit

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\gamma _{R}:[0,\pi ]&\to &\mathbb {C} \\t&\mapsto &\gamma _{R}(t)=R\cdot e^{it}\\\end{array}}}$