Berechnung Konvergenzradius - Cauchy-Hadamard

Bei Potenzreihen lässt sich der Konvergenzradius ${\displaystyle r}$ mit der Formel von Cauchy-Hadamard berechnen. Es gilt:

${\displaystyle r={\frac {1}{\limsup \limits _{n\rightarrow \infty }\ {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}}}$

In diesem Zusammenhang definiert man ${\displaystyle {\tfrac {1}{0}}:=+\infty }$ und ${\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}:=0}$

Berechnung Konvergenzradius - nichtverschwindenden Koeffizienten

In vielen Fällen kann der Konvergenzradius bei Potenzreihen mit nichtverschwindenden Koeffizienten auch einfacher berechnet werden. Es gilt nämlich

${\displaystyle r=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|,}$

sofern dieser Grenzwert existiert.

Exponentialfunktion

Exponentialfunktion ${\displaystyle exp:\mathbb {C} \to \mathbb {C} \setminus \{0\}}$:

${\displaystyle e^{z}=\exp(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}={\frac {z^{0}}{0!}}+{\frac {z^{1}}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+\dotsb }$

für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {C} }$ , d.h., der Konvergenzradius ist unendlich.

Sinusfunktion/Kosinus

Sinus:

${\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}={\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}\mp \dotsb }$

Kosinus:

${\displaystyle \cos(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}={\frac {x^{0}}{0!}}-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}\mp \dotsb }$

Konvergenzradius für sin, cos, exp

Der Konvergenzradius ist sowohl für den Sinus, Kosinus als auch für die Exponentialfunktion unendlich. Die Potenzreihendarstellung ergibt sich direkt mit der eulerschen Formel aus der Exponentialfunktion.

Logarithmus

Logarithmusfunktion:

${\displaystyle \ln(1+z)=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {z^{k}}{k}}=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-{\frac {z^{4}}{4}}+\dotsb }$

für ${\displaystyle |z|<1}$, d. h.: Der Konvergenzradius ist 1, für ${\displaystyle z=1}$ ist die Reihe konvergent, für ${\displaystyle z=-1}$ divergent.

Wurzel

Wurzelfunktion:

${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{2\cdot 4}}x^{2}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{3}\mp \dotsb }$

für ${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$, d.h., der Konvergenzradius in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist 1 und die Reihe konvergiert sowohl für ${\displaystyle x=1}$ als auch für ${\displaystyle x=-1}$.

Stetigkeit - Differenzierbarkeit

Potenzreihen sind innerhalb ihres Konvergenzkreises normal konvergent. Daraus folgt direkt, dass jede durch eine Potenzreihe definierte Funktion stetig ist. Des Weiteren folgt daraus, dass auf kompakten Teilmengen des Konvergenzkreises gleichmäßige Konvergenz vorliegt. Dies rechtfertigt das gliedweise Differenzieren und Integrieren einer Potenzreihe und zeigt, dass Potenzreihen unendlich oft differenzierbar sind.

Absolute Konvergenz

Innerhalb des Konvergenzkreises liegt absolute Konvergenz vor. Über das Verhalten einer Potenzreihe auf dem Rand des Konvergenzkreises kann keine allgemeine Aussage getroffen werden, in manchen Fällen erlaubt aber der abelsche Grenzwertsatz, eine Aussage zu treffen.

Eindeutigkeit der Potenzreihendarstellung

Die Potenzreihendarstellung einer Funktion um einen Entwicklungspunkt ist eindeutig bestimmt (Identitätssatz für Potenzreihen). Insbesondere ist für einen gegebenen Entwicklungspunkt die Taylorentwicklung die einzig mögliche Potenzreihenentwicklung.

Addition und skalare Multiplikation

Sind ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ durch zwei Potenzreihen

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}}$

${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-x_{0})^{n}}$

mit dem Konvergenzradius ${\displaystyle r}$ dargestellt.

Skalare Multiplikation

Sind ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ durch zwei Potenzreihen und ist ${\displaystyle c}$ eine feste komplexe Zahl, dann sind ${\displaystyle f+g}$ und ${\displaystyle cf}$ in Potenzreihen mit Konvergenzradius mindestens ${\displaystyle r}$ entwickelbar und es gilt:

${\displaystyle f(x)+g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})(x-x_{0})^{n}}$

${\displaystyle cf(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(ca_{n})(x-x_{0})^{n}}$

Multiplikation

Das Produkt zweier Potenzreihen mit dem Konvergenzradius ${\displaystyle r}$ ist eine Potenzreihe mit einem Konvergenzradius, der mindestens ${\displaystyle r}$ ist. Da im Inneren des Konvergenzkreises absolute Konvergenz vorliegt, gilt nach der Cauchy-Produktformel:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)g(x)&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-x_{0})^{n}\right)\\&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-x_{0})^{i+j}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\textstyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-x_{0})^{n}\end{aligned}}}$

Dabei wird die durch ${\displaystyle \textstyle c_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$ definierte Folge ${\displaystyle (c_{n})}$ als Faltung oder Konvolution der beiden Folgen ${\displaystyle (a_{n})}$ und ${\displaystyle (b_{n})}$ bezeichnet.

Verkettung

Es gebe zu ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ zwei Potenzreihen

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{1})^{n}.{\mbox{.und }}g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-x_{0})^{n}}$

mit positiven Konvergenzradien und der Eigenschaft

${\displaystyle b_{0}=g(x_{0})=x_{1}}$.

Dann ist die Verkettung ${\displaystyle f\circ g}$ beider Funktionen lokal wieder eine analytische Funktion und somit um ${\displaystyle x_{0}}$ in eine Potenzreihe entwickelbar:

${\displaystyle (f\circ g)(x)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(x-x_{0})^{n}}$

Taylorreihe

Nach dem Satz von Taylor gilt:

${\displaystyle c_{n}={\frac {(f\circ g)^{(n)}(x_{0})}{n!}}}$

Mit der Formel von Faà di Bruno kann man diesen Ausdruck nun in einer geschlossenen Formel in Abhängigkeit von den gegebenen Reihenkoeffizienten angeben, da:

${\displaystyle {\begin{aligned}f^{(n)}(g(x_{0}))&=f^{(n)}(x_{1})\\&=n!\cdot a_{n}\\g^{(m)}(x_{0})&=m!\cdot b_{m}\end{aligned}}}$

Man erhält mit Multiindex-Schreibweise:

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&={\frac {(f\circ g)^{(n)}(x_{0})}{n!}}\\&=\sum _{{\boldsymbol {k}}\in T_{n}}{\frac {f^{(|{\boldsymbol {k}}|)}(g(x_{0}))}{{\boldsymbol {k}}!}}\prod _{m=1 \atop k_{m}\geq 1}^{n}\left({\frac {g^{(m)}(x_{0})}{m!}}\right)^{k_{m}}\\&=\sum _{{\boldsymbol {k}}\in T_{n}}{\frac {|{\boldsymbol {k}}|!\cdot a_{|{\boldsymbol {k}}|}}{{\boldsymbol {k}}!}}\prod _{m=1 \atop k_{m}\geq 1}^{n}b_{m}^{k_{m}}\\&=\sum _{{\boldsymbol {k}}\in T_{n}}{{|{\boldsymbol {k}}|} \choose {\boldsymbol {k}}}\,a_{|{\boldsymbol {k}}|}\prod _{m=1 \atop k_{m}\geq 1}^{n}b_{m}^{k_{m}}\end{aligned}}}$

Dabei ist ${\displaystyle {{|{\boldsymbol {k}}|} \choose {\boldsymbol {k}}}}$ der Multinomialkoeffizient zu ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$ und ${\displaystyle T_{n}=\left\{{\boldsymbol {k}}\in \mathbb {N} _{0}^{n}\,{\Big |}\,\sum _{j=1}^{n}j\cdot k_{j}=n\right\}}$ ist die Menge aller Partitionen von ${\displaystyle n}$ (siehe Partitionsfunktion).

Differentiation und Integration

Eine Potenzreihe ist im Inneren ihres Konvergenzkreises differenzierbar und die Ableitung ergibt sich durch gliedweise Differentiation:

${\displaystyle f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-x_{0}\right)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}\left(n+1\right)\left(x-x_{0}\right)^{n}}$

Hierbei ist ${\displaystyle f}$ beliebig oft differenzierbar und es gilt:

${\displaystyle f^{(k)}(x)=\sum _{n=k}^{\infty }{\frac {n!}{(n-k)!}}a_{n}(x-x_{0})^{n-k}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n+k)!}{n!}}a_{n+k}(x-x_{0})^{n}}$

Analog erhält man eine Stammfunktion durch gliedweise Integration einer Potenzreihe:

${\displaystyle \int f(x)\,{\text{d}}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n+1}}{n+1}}+C=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}\left(x-x_{0}\right)^{n}}{n}}+C}$

In beiden Fällen ist der Konvergenzradius gleich dem der ursprünglichen Reihe.

Mittels der geometrischen Reihe

Durch Faktorisieren des Nenners und anschließender Anwendung der Formel für Summe einer geometrischen Reihe erhält man eine Darstellung der Funktion als Produkt von unendlichen Reihen:

${\displaystyle f(z)={\frac {z^{2}}{(1-z)(3-z)}}={\frac {z^{2}}{3}}\cdot {\frac {1}{1-z}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {z}{3}}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {z^{2}}{3}}\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {z}{3}}\right)^{n}\right)={\frac {1}{3}}\left(\sum _{n=2}^{\infty }z^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {z}{3}}\right)^{n}\right)}$

Produkt der geometrischen Reihen

Beide Reihen sind Potenzreihen um den Entwicklungspunkt ${\displaystyle z_{0}=0}$ und können daher in der oben genannten Weise multipliziert werden. Dasselbe Ergebnis liefert auch die Cauchy-Produktformel

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\underbrace {\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}} _{c_{n}}\right)\cdot z^{n}}$

Koeffizienten der einzelnen Reihen

Es gilt

${\displaystyle a_{k}={\begin{cases}0&{\text{ für }}k\in \{0,1\}\\1&{\text{ sonst}}\end{cases}}}$

und

${\displaystyle b_{k}={\frac {1}{3^{k}}}.}$

Cauchy-Produktformel

Daraus folgt durch Anwendung der Formel für die Partialsumme einer geometrischen Reihe

${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}=\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{3}}\right)^{n-k}={\frac {1}{3^{n-2}}}\sum _{k=0}^{n-2}3^{k}=-{\frac {1-3^{n-1}}{2\cdot 3^{n-2}}}}$

als geschlossene Darstellung für die Koeffizientenfolge der Potenzreihe. Damit ist die Potenzreihendarstellung der Funktion um den Entwicklungspunkt 0 gegeben durch

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {3}{2}}\cdot \left(1-{\frac {1}{3^{n-1}}}\right)\cdot z^{n}}$.

Anwendung geometrischer Reihen oder Koeffizientenvergleich

Alternativ zu geometrische Reihe bietet sich als Alternative der Koeffizientenvergleich an: Man nimmt an, dass eine Potenzreihendarstellung für ${\displaystyle f}$ existiert:

${\displaystyle f(z)={\frac {z^{2}}{z^{2}-4z+3}}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}}$

Dabei hat die Funktion ${\displaystyle f}$ die unbekannte Koeffizientenfolge ${\displaystyle (c_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ existiert. Nach dem Durchmultiplizieren des Nenners und einer Indexverschiebung ergibt sich die Identität:

${\displaystyle {\begin{aligned}z^{2}&=(z^{2}-4z+3)\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}\\&=\sum _{n=2}^{\infty }c_{n-2}z^{n}-\sum _{n=1}^{\infty }4c_{n-1}z^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }3c_{n}z^{n}\\&=3c_{0}+z(3c_{1}-4c_{0})+\sum _{n=2}^{\infty }(c_{n-2}-4c_{n-1}+3c_{n})z^{n}\end{aligned}}}$

Dabei wird die Potenzreihe ${\displaystyle g(z):=z^{2}}$ mit der Potenzreihe ${\displaystyle h(z):=3c_{0}+z(3c_{1}-4c_{0})+\sum _{n=2}^{\infty }(c_{n-2}-4c_{n-1}+3c_{n})z^{n}}$ verglichen. Beide Potenzreihen haben den gleichen Entwicklungspunkt ${\displaystyle z_{o}=0}$. Daher müssen auch die Koeffizienten beider Potenzreihen übereinstimmen. Also als Kooeffizient von ${\displaystyle z^{0}=1}$ muss gelten ${\displaystyle 0=3c_{0}}$, für als Kooeffizient von ${\displaystyle z^{1}}$ gilt ${\displaystyle 0=3c_{1}-4c_{0}}$, ...

Rekursionsformel für Koeffizienten

Da aber zwei Potenzreihen genau dann gleich sind, wenn ihre Koeffizientenfolgen übereinstimmen, ergibt sich durch Koeffizientenvergleich

${\displaystyle c_{0}=0,\ c_{1}=0,\ c_{2}={\frac {1}{3}}}$

und die Rekursionsgleichung

${\displaystyle c_{n}={\frac {4c_{n-1}-c_{n-2}}{3}}}$,

aus der mittels vollständiger Induktion die obige geschlossene Darstellung folgt.

Vorteile Koeffizientenvergleich

Das Vorgehen mittels Koeffizientenvergleiches hat auch den Vorteil, dass andere Entwicklungspunkte als ${\displaystyle z_{0}=0}$ möglich sind. Betrachte als Beispiel den Entwicklungspunkt ${\displaystyle z_{1}=-1}$. Zuerst muss die gebrochen rationale Funktion als Polynom in ${\displaystyle (z-z_{1})=(z+1)}$ dargestellt werden:

${\displaystyle f(z)={\frac {z^{2}}{z^{2}-4z+3}}={\frac {(z+1)^{2}-2(z+1)+1}{(z+1)^{2}-6(z+1)+8}}}$

Andere Entwicklungspunkte

Analog zu oben nimmt man nun an, dass eine formale Potenzreihe um den Entwicklungspunkt existiert mit unbekannter Koeffizientenfolge und multipliziert mit dem Nenner durch:

${\displaystyle {\begin{aligned}(z+1)^{2}-2(z+1)+1&=((z+1)^{2}-6(z+1)+8)\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z+1)^{n}\\&=8c_{0}+(z+1)(8c_{1}-6c_{0})+\\&\qquad +\sum _{n=2}^{\infty }(c_{n-2}-6c_{n-1}+8c_{n})(z+1)^{n}\end{aligned}}}$

Wieder ergibt sich mittels Koeffizientenvergleiches

${\displaystyle c_{0}={\frac {1}{8}},\ c_{1}=-{\frac {5}{32}},\ c_{2}=-{\frac {1}{128}}}$

und als Rekursionsgleichung für die Koeffizienten:

${\displaystyle c_{n}={\frac {-c_{n-2}+6c_{n-1}}{8}}}$

Partialbruchzerlegung

Wendet man auf die gegebene Funktion zuerst Polynomdivision und dann die Partialbruchzerlegung an, so erhält man die Darstellung

${\displaystyle f(z)={\frac {z^{2}}{z^{2}-4z+3}}=1+{\frac {4z-3}{(z-1)(z-3)}}=1+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{1-z}}-{\frac {3}{2}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {z}{3}}}}}$.

Durch Einsetzen der geometrischen Reihe ergibt sich:

${\displaystyle {f(z)=1+{\frac {1}{2}}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}-{\frac {3}{2}}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}}}z^{n}=1+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {3}{2}}\cdot \left(1-{\frac {1}{3^{n-1}}}\right)z^{n}}}$

Die ersten drei Folgenglieder der Koeffizientenfolge sind alle null und damit stimmt die hier gegebene Darstellung mit der oberen überein.

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