Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln

Rechenoperationen 3. Stufe

Zu den Rechenoperationen der dritten Stufe gehören Potenzieren, Wurzelziehen (Radizieren) und Logarithmieren.

Potenzen

Natürliche Exponenten

Für natürliche Zahlen $n$ berechnet sich die $n$ -te Potenz in der polaren Form $z=r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }$ zu

z^{n}=r^{n}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\varphi }=r^{n}\cdot (\cos n\varphi +\mathrm {i} \cdot \sin n\varphi )

(siehe den Satz von de Moivre) oder für die algebraische Form $z=a+b\,\mathrm {i}$ mit Hilfe des binomischen Satzes zu

z^{n}=\sum _{k=0, \atop k{\text{ gerade}}}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{\frac {k}{2}}a^{n-k}b^{k}+\mathrm {i} \sum _{k=1, \atop k{\text{ ungerade}}}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}a^{n-k}b^{k}.

Wurzeln

Wurzeln aus komplexen Zahlen

Logarithmen

Der komplexe natürliche Logarithmus ist (anders als der reelle) nicht eindeutig. Eine komplexe Zahl $w$ heißt Logarithmus der komplexen Zahl $z$ , wenn

\mathrm {e} ^{w}=z.

Mit $w$ ist auch jede Zahl $w+2m\pi \mathrm {i}$ mit beliebigem $m\in \mathbb {Z}$ ein Logarithmus von $z$ . Man arbeitet daher mit Hauptwerten, d. h. mit Werten eines bestimmten Streifens der komplexen Ebene.

Der Hauptwert des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl

z=re^{\mathrm {i} \phi }

mit $r>0$ und $-\pi <\phi \leq \pi$ ist

\ln z=\ln r+\mathrm {i} \phi .

Anders formuliert: Der Hauptwert des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl $z$ ist

\ln z=\ln |z|+\mathrm {i} \,\operatorname {Arg} (z),

wobei $\operatorname {Arg} (z)$ der Hauptwert des Arguments von $z$ ist.

Die endlichen Untergruppen

Alle Elemente einer endlichen Untergruppe der multiplikativen Einheitengruppe $\mathbb {C} ^{\times }=\mathbb {C} \setminus \{0\}$ sind Einheitswurzeln. Unter allen Ordnungen von Gruppenelementen gibt es eine maximale, etwa $n\in \mathbb {N}$ . Da $\mathbb {C}$ kommutativ ist, erzeugt ein Element mit dieser maximalen Ordnung dann auch die Gruppe, so dass die Gruppe zyklisch ist und genau aus den Elementen

\exp \left({2\pi \mathrm {i} k \over n}\right),\quad k=0,1,\dotsc ,n-1

besteht. Alle Elemente liegen auf dem Einheitskreis.

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