Die Menge der ${\displaystyle 2\times 2}$-Matrizen der Form

${\displaystyle Z={\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}=a{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}=a\cdot E+b\cdot I}$ mit ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$

bildet ebenfalls ein Modell der komplexen Zahlen. Dabei werden die reelle Einheit ${\displaystyle 1}$ bzw. die imaginäre Einheit ${\displaystyle \mathrm {i} }$ durch die Einheitsmatrix ${\displaystyle E}$ bzw. die Matrix ${\displaystyle I}$ dargestellt. Daher gilt:

${\displaystyle \operatorname {Re} (Z)=a}$

${\displaystyle \operatorname {Im} (Z)=b}$

${\displaystyle I^{2}=-E}$

${\displaystyle \operatorname {abs} (Z)={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {\det Z}}}$

Diese Menge ist ein Unterraum des Vektorraums der reellen ${\displaystyle 2\times 2}$-Matrizen.

Reelle Zahlen entsprechen Diagonalmatrizen ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}}.}$

Die zu den Matrizen gehörenden linearen Abbildungen sind, sofern ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ nicht beide null sind, Drehstreckungen im Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Es handelt sich um genau dieselben Drehstreckungen wie bei der Interpretation der Multiplikation mit einer komplexen Zahl ${\displaystyle a+b\mathrm {i} }$ in der gaußschen Zahlenebene.