Das Ziel dieses Artikels ist es, alle biholomorphen Abbildungen ${\displaystyle \mathbb {D} \to \mathbb {D} }$ zu charaktisieren. Wir wollen beweisen:

Satz

Sei ${\displaystyle f\colon \mathbb {D} \to \mathbb {D} }$ ein Automorphismus. Dann gibt es ein ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {D} }$ und ein ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle |\lambda |=1}$, so dass

${\displaystyle f(z)=\lambda {\frac {z-z_{0}}{1-{\bar {z}}_{0}z}}}$

Der Einheitskreis ${\displaystyle \mathbb {D} }$

und sein Bild unter ${\displaystyle f(z)=\lambda {\frac {z-z_{0}}{1-{\bar {z}}_{0}z}}}$ für ${\displaystyle z_{0}={\frac {2}{5}}(1+i)}$ und ${\displaystyle \lambda =2^{-1/2}(1+i)}$

Umgekehrt sind alle solchen Abbildungen Automorphismen von ${\displaystyle \mathbb {D} }$.

Bevor wir den Satz beweisen, wollen wir noch eine wichtige Folgerung notieren:

Beweis

Als erstes zeigen wir, dass alle diese Abbildungen Automorphismen sind. Sei also ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {D} }$, ${\displaystyle |\lambda |=1}$ und ${\displaystyle f(z)=\lambda {\frac {z-z_{0}}{1-{\bar {z}}_{0}z}}}$. Dann ist ${\displaystyle f}$ holomorph und wegen

${\displaystyle |f(z)|={\frac {|z-z_{0}|}{|1-{\bar {z}}_{0}z|}}={\frac {|z||1-{\bar {z}}z_{0}|}{|1-{\bar {z}}_{0}z|}}=|z|=1,\quad |z|=1}$

und ${\displaystyle f(z_{0})=0}$ gilt ${\displaystyle f(\mathbb {D} )\subseteq \mathbb {D} }$. Um zu zeigen, dass ${\displaystyle f}$ ein Automorphismus ist, zeigen wir, dass ${\displaystyle f}$ umkehrbar ist und die Umkehrabbildung vom selben Typ ist, wir haben

${\displaystyle {\begin{array}{rl}f(z)&=w\\\iff \displaystyle \lambda {\frac {z-z_{0}}{1-z{\bar {z}}_{0}}}&=w\\\iff z-z_{0}&={\bar {\lambda }}w(1-z{\bar {z}}_{0})\\\iff z(1+{\bar {\lambda }}w{\bar {z}}_{0})&={\bar {\lambda }}w+z_{0}\\\iff z&=\displaystyle {\frac {{\bar {\lambda }}w+z_{0}}{1+{\bar {\lambda }}w{\bar {z}}_{0}}}\\\iff z&={\bar {\lambda }}\displaystyle {\frac {w-{(-\lambda z_{0})}}{1-{\overline {(-\lambda z_{0})}}w}}\end{array}}}$

Also ist ${\displaystyle f^{-1}}$ vom selben Typ, es folgt die Behauptung.

Zum Beweis der Tatsache, dass jeder Automorphismus von der behaupteten Form ist, betrachten wir zunächst den Spezialfall ${\displaystyle f(0)=0}$. Dann ist nach dem Lemma von Schwarz zunächst ${\displaystyle |f(z)|\leq |z|}$ für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {D} }$, wenden wir das Lemma von Schwarz auf ${\displaystyle f^{-1}}$ an, erhalten wir analog ${\displaystyle |z|\leq |f(z)|}$, also insgesamt ${\displaystyle |f(z)|=|z|}$ für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {D} }$. Das Lemma von Schwarz liefert nun, dass ${\displaystyle f}$ eine Drehung ist, also ${\displaystyle f(z)=\lambda z}$ für ein ${\displaystyle |\lambda |=1}$.

Sei nun ${\displaystyle f(0)=:z_{1}}$, definiere ${\displaystyle g(z):={\frac {z-z_{1}}{1-{\bar {z}}_{1}z}}}$, nach obigem ist ${\displaystyle g}$ ein Automorphismus. Dann ist ${\displaystyle h:=g\circ f}$ ein Automorphismus von ${\displaystyle \mathbb {D} }$ mit ${\displaystyle h(0)=0}$, also ${\displaystyle h(z)=\lambda z}$ für ein ${\displaystyle |\lambda |=1}$. Es folgt nach obiger Rechnung:

${\displaystyle f(z)=g^{-1}(\lambda z)={\frac {\lambda z+z_{1}}{1+{\bar {z}}_{1}\lambda z}}=\lambda {\frac {z+{\bar {\lambda }}z_{1}}{1+{\overline {{\bar {\lambda }}z_{1}}}z}}}$

mit ${\displaystyle z_{0}:=-{\bar {\lambda }}z_{1}}$ also die Behauptung.