Aufgabe (Integrale, 5 Punkte)

Berechne die folgenden Integrale mit Hilfe der Cauchy-Integralformel:

1. ${\displaystyle \int _{|z+1|=1}{\frac {dz}{(z+1)(z-1)^{3}}}}$
2. ${\displaystyle \int _{|z|=2}{\frac {\sin z}{z+i}}\,dz}$
3. ${\displaystyle \int _{|z|=r}{\frac {dz}{(z-a)^{n}(z-b)^{m}}}}$ mit ${\displaystyle |a|<r<|b|}$, ${\displaystyle n,m\geq 1}$.

Aufgabe (Cauchy, 10 Punkte)

Es sei ${\displaystyle S^{1}:=\{z\in \mathbf {C} :|z|=1\}}$. Auf ${\displaystyle \mathbf {C} \setminus S^{1}}$ betrachten wir die Funktion

${\displaystyle f(z):=\int _{S^{1}}{\frac {d\zeta }{\zeta (\zeta -z)}}}$

Bestimme ${\displaystyle f}$. An welchen Punkten von ${\displaystyle S^{1}}$ hat ${\displaystyle f}$ einen Grenzwert?

Aufgabe (mehr Integrale, 5 Punkte)

Nutze die Cauchy-Integralformel, um

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{k\sin t}\sin(k\sin t)\,dt}$

zu bestimmen.

Tipp: Betrachte ${\displaystyle z\mapsto {\frac {e^{kz}}{z}}}$ auf dem Einheitskreis.