Aufgabe (Integrale, 5 Punkte)

Es bezeichne ${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to \mathbf {C} }$, ${\displaystyle t\mapsto \exp(2\pi it)}$ die Standardparametrisierung des Einheitskreises. Bestimme das Integral

${\displaystyle \int _{\gamma }{\frac {1}{z+{\frac {1}{2}}}}\,dz}$

• Tipp*: Nutze die geometrische Reihe, um ${\displaystyle {\frac {1}{z+{\frac {1}{2}}}}}$ in der From ${\displaystyle \sum _{n}a_{n}z^{-n}}$ darzustellen. Danach integriere gliedweise unter Verwendung der ersten Aufgabe auf dem letzten Zettel.

Aufgabe (Stammfunktionen, 5 Punkte)

Man begründe, dass das es keine Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$ gibt, für die ${\displaystyle f'=\mathop {\rm {Re}} }$ gilt.

Aufgabe (mehr Integrale, 5 Punkte)

Es sei ${\displaystyle R>1}$ und ${\displaystyle \gamma _{R}}$ bezeichne den Halbkreis, bestehend aus ${\displaystyle [-R,R]}$, gefolgt von ${\displaystyle t\mapsto R\exp(it),t\in [0,\pi ]}$. Bestimme

${\displaystyle \int _{\gamma _{R}}{\frac {1}{1+z^{2}}}\,dz}$

Aufgabe (Länge, 5 Punkte)

Bestimme die Länge des Einheitskreises, ${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to \mathbf {C} }$, ${\displaystyle t\mapsto \exp(2\pi it)}$.