Aufgabe (Differenzierbarkeit, 5 Punkte)

Untersuche folgende Funktionen auf ${\displaystyle \mathbf {C} }$ auf partielle und komplexe Differenzierbarkeit! Gib jeweils die Stellen an, an denen Differenzierbarkeit vorliegt!

1. ${\displaystyle f_{1}\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$, ${\displaystyle z\mapsto z^{2}}$
2. ${\displaystyle f_{2}\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$, ${\displaystyle z\mapsto z{\bar {z}}}$
3. ${\displaystyle f_{3}\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$, ${\displaystyle z\mapsto \mathop {\mathrm {Re} } z}$
4. ${\displaystyle f_{4}\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$, ${\displaystyle z\mapsto {\begin{cases}0&z=0\\{\frac {|z|^{2}}{z^{2}+{\bar {z}}^{2}}}&z\neq 0\end{cases}}}$

Aufgabe (Wirtinger, 5 Punkte)

Bestimme für die Funktionen aus der ersten Aufgabe die partiellen Ableitungen nach ${\displaystyle z}$ und ${\displaystyle {\bar {z}}}$ für die Stellen, an denen sie Existieren.

Aufgabe (Rechnen mit Polynomen, 5 Punkte)

Lösung
Wir betrachten ein Polynom ${\displaystyle p\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$, gegeben durch

${\displaystyle p(z)=\sum _{0\leq \kappa \leq k \atop 0\leq \lambda \leq \ell }a_{\kappa \lambda }x^{\kappa }y^{\lambda }}$

mit ${\displaystyle x=\mathop {\rm {Re}} z}$ und ${\displaystyle y=\mathop {\rm {Im}} z}$. Zeige, dass sich ${\displaystyle p}$ auch als Polynom in ${\displaystyle z}$ und ${\displaystyle {\bar {z}}}$ darstellen lässt, indem Du die Koeffizienten in

${\displaystyle p(z)=\sum _{0\leq \mu \leq m \atop 0\leq \nu \leq n}b_{\mu \nu }z^{\mu }{\bar {z}}^{\nu }}$

angibst.

Aufgabe (Kettenregel, 5 Punkte)

Lösung
Seien ${\displaystyle f,g\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$ stetig differenzierbar. Beweise, dass

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}(f\circ g)={\frac {\partial f}{\partial z}}\circ g\cdot {\frac {\partial g}{\partial z}}+{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\circ g\cdot {\frac {\partial {\bar {g}}}{\partial z}}}$

und

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}(f\circ g)={\frac {\partial f}{\partial z}}\circ g\cdot {\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}}}+{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\circ g\cdot {\frac {\partial {\bar {g}}}{\partial {\bar {z}}}}}$

gelten.