Kurs:Funktionentheorie/Übungen/1. Zettel

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Übung zur Funktionentheorie

Abgabe bis 3. November 2017, 10:15

Aufgabe (Rechnen, 5 Punkte)

Berechne folgende komplexen Zahlen:

$(1+4i)\cdot (3+5i)$
${\frac {1+4i}{3+5i}}$
$i^{2018}$
$(1+i)^{8}$
$(1+i)^{2018}$

Aufgabe ("Schreiben", 5 Punkte)

In der Vorlesung wurde besprochen, dass $\mathbf {C}$ ein Körper ist. Zeige folgende Rechengesetze für komplexe Zahlen:

Assoziativität der Multiplikation $\forall z,v,w\in \mathbf {C} :(z\cdot v)\cdot w=z\cdot (v\cdot w)$
Distributivität der Mulltiplikation über die Addition: $\forall z,v,w\in \mathbf {C} :(z+v)\cdot w=z\cdot w+v\cdot w$

Aufgabe (Gleichungen, 5 Punkte)

Bestimme alle $z\in \mathbf {C}$ , die folgende Gleichungen erfüllen:

$(3+i)z+(3+4i)=4+5i$
$(2+i)z^{2}-5iz+i=3$
$z^{4}=-1$

Aufgabe (Differenzieren, 5 Punkte)

Überprüfe, ob folgende Funktionen $\mathbf {C} \to \mathbf {C}$ differenzierbar sind. Falls ja, gib ihre Ableitung an.

$f\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C} ,z\mapsto z^{2}+2$
$g\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C} ,z\mapsto \left|z\right|^{2}$

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