1. Übungsblatt - Funktionentheorie

1. Aufgabe (Körperstruktur der komplexen Zahlen)

Wir definieren auf ${\textstyle \mathbb {C} :=\mathbb {R} ^{2}=\{\left({\begin{smallmatrix}a\\b\end{smallmatrix}}\right);a,b\in \mathbb {R} \}}$ die folgenden Verknüpfungen ${\textstyle \oplus }$ und ${\textstyle \odot }$.

Definition: Für ${\textstyle \left({\begin{smallmatrix}a\\b\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}c\\d\end{smallmatrix}}\right)\in \mathbb {C} }$ seien:
${\textstyle \left({\begin{smallmatrix}a\\b\end{smallmatrix}}\right)\oplus \left({\begin{smallmatrix}c\\d\end{smallmatrix}}\right):=\left({\begin{smallmatrix}a+c\\b+d\end{smallmatrix}}\right)\in \mathbb {C} }$ und ${\textstyle \left({\begin{smallmatrix}a\\b\end{smallmatrix}}\right)\odot \left({\begin{smallmatrix}c\\d\end{smallmatrix}}\right):=\left({\begin{smallmatrix}ac-bd\\ad+bc\end{smallmatrix}}\right)\in \mathbb {C} }$

1. Zeigen Sie, dass ${\textstyle (\mathbb {C} ,\oplus ,\odot )}$ ein Körper ist, heißt:

   1. ${\textstyle \oplus }$ ist kommutativ und assoziativ und hat ein neutrales Element ${\textstyle 0\in \mathbb {C} }$. Außerdem ist jedes Element aus ${\textstyle \mathbb {C} }$ invertierbar bezüglich ${\textstyle \oplus }$.

   2. ${\textstyle \odot }$ ist kommutativ und assoziativ und hat eine neutrales Element ${\textstyle 1\in \mathbb {C} }$. Außerdem ist jedes Element aus ${\textstyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ invertierbar bezüglich ${\textstyle \odot }$.

   3. Für ${\textstyle \oplus }$ und ${\textstyle \odot }$ gilt das Distributivgesetz.

   Aus Ihrem Beweis sollte hervorgehen, was ${\textstyle 0}$ und ${\textstyle 1}$ sind und was zu ${\textstyle \left({\begin{smallmatrix}a\\b\end{smallmatrix}}\right)\in \mathbb {C} }$ das Inverse bezüglich ${\textstyle \oplus }$ bzw. (im Fall ${\textstyle \left({\begin{smallmatrix}a\\b\end{smallmatrix}}\right)\neq 0}$) das Inverse bezüglich ${\textstyle \odot }$ ist.

2. Zeigen Sie, dass die Abbildung ${\textstyle \phi :\mathbb {R} \to \mathbb {C} ,\phi (a)=\left({\begin{smallmatrix}a\\0\end{smallmatrix}}\right)}$ ein injektiver Körperhomomorphismus ist, da heißt ${\textstyle \phi }$ ist injektiv und es gilt:
   ${\textstyle \phi (a+b)=\phi (a)+\phi (b)}$ und ${\textstyle \phi (a\cdot b)=\phi (a)\cdot \phi (b)\,\,\,{\text{für alle }}a,b\in \mathbb {R} }$
   

2. Aufgabe (Rechnen im Komplexen)

Wir schreiben nun ${\textstyle +}$ und ${\textstyle \cdot }$ für die Verknüpfungen ${\textstyle \oplus }$ und ${\textstyle \odot }$ auf ${\textstyle \mathbb {C} }$ aus Aufgabe 1. Außerdem schreiben wir für ${\textstyle a\in \mathbb {R} }$ einfach ${\textstyle a}$ anstatt ${\textstyle \phi (a)=\left({\begin{smallmatrix}a\\0\end{smallmatrix}}\right)}$. (Mit dieser Schreibweise gilt ${\textstyle \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$.) Weiterhin sei ${\textstyle i:=\left({\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}\right)\in \mathbb {C} }$.

1. Zeigen Sie, dass für alle ${\textstyle a,b\in \mathbb {R} }$ gilt: ${\textstyle a+ib=\left({\begin{smallmatrix}a\\b\end{smallmatrix}}\right)}$
2. Zeigen Sie, dass ${\textstyle i^{2}=-1}$ gilt.
3. Berechnen Sie: ${\textstyle (2+3i)-(-8+4i),(-6+5i)\cdot (3-i),{\frac {1}{5+12i}},{\frac {1+i}{1-i}},{\frac {2-3i}{4+i}}}$
4. Bestimmen Sie alle ${\textstyle x\in \mathbb {C} }$ für die folgenden Gleichungen:
   1. ${\textstyle x^{2}=1}$.
   2. ${\textstyle x^{2}=-1}$.
   3. ${\textstyle x^{4}=1}$.

3. Aufgabe(Real- und Imaginärteil, komplex Konjugiertes und Betrag im Komplexen)

Zeigen Sie:

1. Für alle ${\textstyle x,y\in \mathbb {C} }$ gilt ${\textstyle {\text{Re}}(x+y)={\text{Re}}(x)+{\text{Re}}(y)}$ und ${\textstyle {\text{Im}}(x+y)={\text{Im}}(x)+{\text{Im}}(y)}$
2. Für alle ${\textstyle x\in \mathbb {C} }$ gilt ${\textstyle {\text{Re}}(x)={\frac {x+{\bar {x}}}{2}}}$ und ${\textstyle {\text{Im}}(x)={\frac {x-{\bar {x}}}{2i}}}$
3. Für alle ${\textstyle x\in \mathbb {C} }$ gilt ${\textstyle x\cdot {\bar {x}}=|x|^{2}}$ und (im Fall ${\textstyle x\neq 0}$) ${\textstyle {\frac {1}{x}}={\frac {\bar {x}}{|x|^{2}}}}$
4. Für alle ${\textstyle x,y\in \mathbb {C} }$ gilt ${\textstyle |x\cdot y|=|x|\cdot |y|}$ und (im Fall ${\textstyle y\neq 0}$) ${\textstyle |{\frac {x}{y}}|={\frac {|x|}{|y|}}}$
5. Für alle ${\textstyle x,y\in \mathbb {C} }$ gilt ${\textstyle |x+y|\geq |x|+|y|}$