Der Faserring oberhalb von ${\displaystyle {}(p)}$ ist ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{3}+2X-1\right)}}$.

${\displaystyle {}p=2}$. In ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)[X]}$ ist ${\displaystyle {}1}$ eine Nullstelle des Polynoms und es ist

${\displaystyle {}X^{3}+2X-1=X^{3}+1=(X+1)(X^{2}+X+1)\,.}$

der hintere Faktor ist nullstellenfrei. Somit ist der Faserring isomorph zum Produktring ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)\times {\mathbb {F} }_{4}}$. Insbesondere ist der Faserring kein Körper, er ist reduziert und besitzt zwei Primideale.

${\displaystyle {}p=3}$. In ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(3)[X]}$ besitzt ${\displaystyle {}X^{3}+2X-1}$ keine Nullstelle, daher ist das Polynom irreduzibel und der Faserring ist ein Körper.

${\displaystyle {}p=5}$. In ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(5)[X]}$ besitzt ${\displaystyle {}X^{3}+2X-1}$ keine Nullstelle, daher ist das Polynom irreduzibel und der Faserring ist ein Körper.

${\displaystyle {}p=11}$. In ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(11)[X]}$ besitzt ${\displaystyle {}X^{3}+2X-1}$ die Nullstelle ${\displaystyle {}2}$. Daher ist

${\displaystyle {}X^{3}+2X-1=(X-2)(X^{2}+2X+6)\,.}$

Der hintere Faktor ist nullstellenfrei, somit ist der Faserring isomorph zum Produktring ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(11)\times {\mathbb {F} }_{121}}$. Insbesondere ist der Faserring kein Körper, er ist reduziert und besitzt zwei Primideale.