Kreisteilungsring/n/Primzahl/Verzweigt/Fakt

Es sei ${}R_{n}=\mathbb {Z} [X]/(\Phi _{n})$ der ${}n$ -te Kreisteilungsring. Dann sind für eine ungerade Primzahl ${}q$ folgende Aussagen äquivalent.

${}q$ ist ein Teiler von ${}n$ .

Das Primideal ${}(q)$ verzweigt in ${}R_{n}$ .

Das Kreisteilungspolynom ${}\Phi _{n}$ ist über ${}\mathbb {Z} /(q)$ nicht separabel.

Das Polynom ${}X^{n}-1$ ist über ${}\mathbb {Z} /(q)$ nicht separabel.

Der Ring ${}\mathbb {Z} /(q)[X]/(X^{n}-1)$ ist nicht reduziert.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen

This article is issued from Wikiversity. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.