Es ist ${\displaystyle {}R_{p}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{p-1}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}}$ und

${\displaystyle {}R_{p^{r}}=R_{p}[Y]/{\left(Y^{p^{r-1}}-X\right)}\,.}$

Somit ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\Omega _{R_{p^{r}}{|}R_{p}}&=R_{p^{r}}/{\left(p^{r-1}Y^{p^{r-1}-1}\right)}dY\\&=R_{p^{r}}/{\left(p^{r-1}\right)}dY\\&=R_{p}[Y]/{\left(p^{r-1},Y^{p^{r-1}}-X\right)}dY\\&=R_{p}/{\left(p^{r-1}\right)}[Y]/{\left(Y^{p^{r-1}}-X\right)}dY\\&=\mathbb {Z} /(p^{r-1})[X]/{\left(X^{p-1}+\cdots +X+1\right)}[Y]/{\left(Y^{p^{r-1}}-X\right)}dY.\end{aligned}}}$

Dies ist ein freier ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p^{r-1})[X]/{\left(X^{p-1}+\cdots +X+1\right)}}$-Modul vom Rang ${\displaystyle {}p^{r-1}}$ (mit der Basis ${\displaystyle {}Y^{j}dY}$, ${\displaystyle {}j=0,1,\ldots ,p^{r-1}-1}$) und damit ein freier ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p^{r})}$-Modul vom Rang ${\displaystyle {}(p-1)p^{r-1}}$ (mit der Basis ${\displaystyle {}X^{i}Y^{j}dY}$, ${\displaystyle {}j=0,1,\ldots ,p^{r-1}-1}$, ${\displaystyle {}i=0,1,\ldots ,p-2}$). Seine Anzahl ist somit

${\displaystyle {}{\left(p^{r-1}\right)}^{(p-1)p^{r-1}}=p^{(r-1)(p-1)p^{r-1}}\,.}$