Wir zeigen, dass

${\displaystyle {}\mathbb {Z} [\zeta ]\cong \mathbb {Z} [Y]/(Y^{p-1}+Y^{p-2}+\cdots +Y^{2}+Y+1)\,}$

bereits normal ist, also mit seinem ganzen Abschluss übereinstimmt. Dazu genügt es zu zeigen, dass die Lokalisierung von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [\zeta ]}$ an jedem Primideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}}$ ein diskreter Bewertungsring ist. Es sei

${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}\cap \mathbb {Z} =(q)\,}$

mit einer Primzahl ${\displaystyle {}q}$ und wir machen eine Fallunterscheidung je nachdem, ob ${\displaystyle {}q=p}$ ist oder nicht. Bei ${\displaystyle {}q=p}$ zeigt Fakt, dass ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}=(\zeta -1)}$ ein Hauptideal ist, was sich auf die Lokalisierung überträgt. Bei ${\displaystyle {}q\neq p}$ lokalisieren wir die Situation an ${\displaystyle {}(q)}$. Da ${\displaystyle {}X^{p}-1}$ und seine Ableitung ${\displaystyle {}pX^{p-1}}$ teilerfremd in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} _{(q)}[X]}$ sind, gilt dies auch für das Kreisteilungspolynom und seine Ableitung. Deshalb sind die Primteiler des Kreisteilungspolynoms in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(q)[X]}$ einfach. Somit sind die Lokalisierungen oberhalb von ${\displaystyle {}(q)}$ nach Fakt diskrete Bewertungsringe.