Wegen

${\displaystyle {}0=d(X^{4}+1)=4X^{3}dX\,}$

ist, da ${\displaystyle {}X}$ eine Einheit ist, direkt

${\displaystyle {}4dX=0\,}$

und damit annulliert ${\displaystyle {}4}$ den ganzen Modul. Der Kählermodul ist

${\displaystyle {}\Omega _{R_{8}{|}\mathbb {Z} }=R/(4X^{3})dX=\mathbb {Z} [X]/(X^{4}+1,4)dX=\mathbb {Z} /(4)[X]/(X^{4}+1)dX\,.}$

${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(4)}$

${\displaystyle {}dX,XdX,X^{2}dX,X^{3}dX}$