Es sei ${\displaystyle {}S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}}$ der Einheitskreis und

${\displaystyle g\colon S^{1}\longrightarrow \mathbb {R} }$

eine Funktion mit ${\displaystyle {}g(-Q)=-g(Q)}$, gegenüberliegende Punkte auf dem Kreis haben also zueinander negierte Werte.

1. Zeige, dass durch ${\displaystyle {}f(0)=0}$ und

   ${\displaystyle {}f(P):=\Vert {P}\Vert g\left({\frac {P}{\Vert {P}\Vert }}\right)\,}$

   für ${\displaystyle {}P\neq 0}$ eine Funktion auf ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ definiert ist.

2. Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ genau dann stetig ist, wenn ${\displaystyle {}g}$ stetig ist.
3. Man gebe ein Beispiel für ein nichtstetiges ${\displaystyle {}g}$ derart, dass ${\displaystyle {}f}$ im Nullpunkt stetig ist.
4. Zeige, dass die Einschränkung von ${\displaystyle {}f}$ auf jede Gerade durch den Nullpunkt linear ist.
5. Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ im Nullpunkt in jede Richtung differenzierbar ist.
6. Es sei

   ${\displaystyle {}g(Q)={\begin{cases}1,{\text{ falls die }}x-{\text{Koordinate von }}Q{\text{ rational ist }}\\0,{\text{ falls die }}x-{\text{Koordinate von }}Q{\text{ irrational ist}}\,.\end{cases}}\,}$

   Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ in jedem Punkt ${\displaystyle {}P\neq 0}$ nur in eine Richtung (bis auf Skalierung) eine Richtungsableitung besitzt.