Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\cosh x&={\frac {1}{2}}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{n}}{n!}}\right)}\\&=\sum _{n=0,\,n{\text{ gerade}}}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\\&=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{6}}{720}}+....\end{aligned}}}$

Für ${\displaystyle {}x=2}$ ist dies

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{2k}}{(2k)!}}&=1+2+{\frac {16}{24}}+{\frac {64}{720}}+...\\&\leq 1+2+{\frac {16}{24}}+{\frac {64}{720}}{\left(1+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{1000}}+...\right)}\\&\leq 1+2+{\frac {16}{24}}+{\frac {64}{720}}\cdot {\frac {10}{9}}\\&\leq 1+2+{\frac {16}{24}}+{\frac {1}{10}}\\&<4\\&=2^{2}.\end{aligned}}}$

Dabei haben wir verwendet, dass sich die weiteren Summanden hinter ${\displaystyle {}{\frac {64}{720}}}$ durch Multiplikation mit ${\displaystyle {}{\frac {4}{7\cdot 8}},{\frac {4}{9\cdot 10}}}$ u.s.w. ergeben und daher mit der geometrischen Reihe abgeschätzt werden können.