Es ist klar, dass ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}_{P}}$ ein Ideal ist. Wenn die holomorphe Funktion ${\displaystyle {}f}$ nicht zu ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}_{P}}$ gehört, so ist ${\displaystyle {}f(P)\neq 0}$ und dann ist ${\displaystyle {}f}$ auch in einer offenen Umgebung von ${\displaystyle {}P}$ nullstellenfrei. Dort ist ${\displaystyle {}1/f}$ eine wohldefinierte holomorphe Funktion und das bedeutet, dass ${\displaystyle {}f}$ in ${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{P}}$ eine Einheit ist. Also handelt es sich bei ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}_{P}}$ um das einzige maximale Ideal.