Wegen Fakt ist

${\displaystyle {}\vert {z}\vert =\vert {r}\vert \vert {e^{{\mathrm {i} }\varphi }}\vert =\vert {r}\vert =r\,,}$

d.h. ${\displaystyle {}r}$ ist als Betrag der komplexen Zahl ${\displaystyle {}z}$ festgelegt. Wir können durch den Betrag teilen und können dann davon ausgehen, dass eine komplexe Zahl ${\displaystyle {}z=a+b{\mathrm {i} }}$ mit ${\displaystyle {}a,b\in \mathbb {R} }$ und mit ${\displaystyle {}a^{2}+b^{2}=1}$ vorliegt. Es ist dann zu zeigen, dass es eine eindeutige Darstellung

${\displaystyle {}z=a+b{\mathrm {i} }=\cos \varphi +{\mathrm {i} }\sin \varphi \,}$

gibt. Bei ${\displaystyle {}a=1}$ (bzw. ${\displaystyle {}{-1}}$) ist ${\displaystyle {}b=0}$ und ${\displaystyle {}\varphi =0}$ (bzw. ${\displaystyle \varphi =\pi }$) ist die einzige Lösung. Wir zeigen, dass es für ein gegebenes ${\displaystyle {}a\in {]{-1},1[}}$ stets genau zwei Möglichkeiten für ${\displaystyle {}\varphi }$ mit ${\displaystyle {}a=\cos \varphi }$ gibt, und eine davon wird durch das Vorzeichen von ${\displaystyle {}b}$ ausgeschlossen. Bei ${\displaystyle {}b\geq 0}$ gibt es aufgrund von Fakt ein eindeutiges ${\displaystyle {}\varphi \in [0,\pi ]}$ mit ${\displaystyle {}a=\cos \varphi }$. Für dieses gilt ${\displaystyle {}b=\sin \varphi }$ wegen ${\displaystyle {}a^{2}+b^{2}=1}$ und ${\displaystyle {}b\geq 0}$. Bei ${\displaystyle {}b<0}$ gibt es wiederum ein eindeutiges ${\displaystyle {}\theta \in [0,\pi ]}$ mit ${\displaystyle {}a=\cos \theta }$. Wegen ${\displaystyle {}\sin \theta \geq 0}$ ist dies aber keine Lösung für beide Gleichungen. Stattdessen erfüllt ${\displaystyle {}\varphi$ :=2\pi -\theta } beide Gleichungen.