Komplexe Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Fakt

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}\mathbb {C}$ . Dann gelten folgende Aussagen.

Die Folge ${}{\left(x_{n}+y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist konvergent und es gilt
$\lim _{n\rightarrow \infty }(x_{n}+y_{n})=(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n})+(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}).$

Die Folge ${}{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist konvergent und es gilt
$\lim _{n\rightarrow \infty }(x_{n}\cdot y_{n})=(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n})\cdot (\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}).$

Für ${}c\in \mathbb {C}$ gilt
$\lim _{n\rightarrow \infty }cx_{n}=c(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}).$

Es sei ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ . Dann ist ${}{\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit
$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}.$

Es sei ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ . Dann ist ${}{\left({\frac {y_{n}}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit
$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {y_{n}}{x_{n}}}={\frac {\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}}{x}}.$

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