Definition: Komplexe Zahlen

Seien ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in \mathbb {R} }$ gegeben. Eine komplexe Zahl ist dann ${\displaystyle a:=a_{1}+i\cdot a_{2}}$ mit ${\displaystyle i^{2}=-1}$

Definition: Konjugiert komplexe Zahl

Seien ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in \mathbb {R} }$ und eine komplexe Zahl ist dann ${\displaystyle a:=a_{1}+i\cdot a_{2}}$ mit ${\displaystyle i^{2}=-1}$ gegeben. Die konjugiert komplexe Zahl ${\displaystyle {\overline {a}}}$ ist dann wie folgt definiert:

${\displaystyle {\overline {a}}:=a_{1}-i\cdot a_{2}}$

Definition: Betrag einer komplexen Zahl

Seien ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in \mathbb {R} }$ und eine komplexe Zahl ist dann ${\displaystyle a:=a_{1}+i\cdot a_{2}}$ mit ${\displaystyle i^{2}=-1}$ gegeben. Der Betrag einer komplexen Zahl ${\displaystyle |a|}$ ist dann wie folgt definiert:

${\displaystyle |a|:={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}}$

Aufgabe

• Zeigen Sie, dass ${\displaystyle |a|={\sqrt {a\cdot {\overline {a}}}}}$ für beliebige komplexe Zahlen ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$ gilt!
• Zeigen Sie, dass ${\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}$ für beliebige komplexe Zahlen ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} }$ gilt! Wann gilt die Gleichheit?

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