Bei ${\displaystyle {}f(0)=0}$ ist ${\displaystyle {}f(z)=f(z+0)=f(z)f(0)=0}$, so dass die Nullfunktion vorliegt, die die angegebene Ableitungseigenschaft (mit einem beliebigen ${\displaystyle {}\lambda }$) erfüllt. Sei also ${\displaystyle {}f(0)\neq 0}$. Dann ist ${\displaystyle {}f(0)=1}$ wegen ${\displaystyle {}f(0)=f(0+0)=f(0)f(0)}$. Der Differenzenquotient ist

${\displaystyle {}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}={\frac {f(z)f(h)-f(z)}{h}}=f(z){\frac {f(h)-1}{h}}=f(z){\frac {f(h)-f(0)}{h}}\,.}$

Der rechte Faktor ist der Differenzenquotient im Nullpunkt. Dieser konvergiert nach Voraussetzung für ${\displaystyle {}h\rightarrow 0}$ gegen ${\displaystyle {}f'(0)}$. Also konvergiert der Differenzenquotient gegen ${\displaystyle {}f(z)f'(0)}$ und die Ableitungseigenschaft ist mit ${\displaystyle {}\lambda =f'(0)}$ erfüllt.