Es sei ${\displaystyle {}[a,b]}$ ein reelles Intervall und

${\displaystyle f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),}$

eine Funktion. Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ genau dann stetig ist, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ gibt es eine Unterteilung

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{k-1}<x_{k}=b}$

derart, dass die lineare Interpolation ${\displaystyle {}g}$ (zu dieser Unterteilung und zu ${\displaystyle {}f}$) die Eigenschaft

${\displaystyle \vert {f(x)-g(x)}\vert \leq \epsilon {\text{ für alle }}x\in [a,b]}$