Aufgrund von Fakt müssen wir nur die zweite Formulierung beweisen. Für ein Primideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}\subseteq S}$ gilt ${\displaystyle {}\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}}$ genau dann, wenn sowohl ${\displaystyle {}\varphi ({\mathfrak {q}})\subseteq {\mathfrak {p}}}$ als auch ${\displaystyle {}\varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})\subseteq S\setminus {\mathfrak {p}}}$ gilt. Die erste Bedingung ist zu ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}S\subseteq {\mathfrak {p}}}$ und die zweite Bedingung ist zu

${\displaystyle {}\varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})\cap {\mathfrak {p}}=\emptyset \,}$

äquivalent.