Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und es seien ${\displaystyle {}k,m,n}$ ganze Zahlen und ${\displaystyle {}x,y\in R}$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Zu ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ ist ${\displaystyle {}nx}$ (also die ${\displaystyle {}n}$-fache Summe von ${\displaystyle {}x}$ mit sich selbst) gleich ${\displaystyle {}(1+\cdots +1)\cdot x}$, wobei links die ${\displaystyle {}n}$-fache Summe der ${\displaystyle {}1\in R}$ mit sich selbst steht.
2. Zu ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ ist ${\displaystyle {}-n}$ (also die ${\displaystyle {}n}$-fache Summe des Negativen von ${\displaystyle {}1}$ mit sich selbst) gleich dem Negativen (in ${\displaystyle {}R}$) von ${\displaystyle {}n=1+\cdots +1}$.
3. Es ist

   ${\displaystyle {}(m+k)x=mx+kx\,.}$

4. Es ist

   ${\displaystyle {}k(x+y)=kx+ky\,.}$

5. Es ist

   ${\displaystyle {}(km)x=k(mx)\,.}$