Eine Einheit ist also ein Element, das die ${\displaystyle {}1}$ teilt. Das Element ${\displaystyle {}v}$ mit der Eigenschaft ${\displaystyle {}uv=1}$ ist dabei eindeutig bestimmt. Hat nämlich auch ${\displaystyle {}w}$ die Eigenschaft ${\displaystyle {}uw=1}$, so ist

${\displaystyle {}v=v1=v(uw)=(vu)w=1w=w\,.}$

Das im Falle der Existenz eindeutig bestimmte ${\displaystyle {}v}$ mit ${\displaystyle {}uv=1}$ nennt man das (multiplikativ) Inverse zu ${\displaystyle {}u}$ und bezeichnet es mit ${\displaystyle {}u^{-1}}$. Die Menge aller Einheiten in einem kommutativen Ring bilden eine kommutative Gruppe (bezüglich der Multiplikation mit ${\displaystyle {}1}$ als neutralem Element), die man die Einheitengruppe von ${\displaystyle {}R}$ nennt. Sie wird mit ${\displaystyle {}R^{\times }}$ bezeichnet.